Алексей Кулагин родился в Орле (Российская Федерация). В 2015 году окончил Орловский музыкальный колледж (класс А.Г.Дубинской), в 2019 – Санкт-Петербургскую государственную консерваторию им. Н. А.Римского-Корсакова (классы народного артиста СССР Н.П.Охотникова и Э.Я.Умерова). В Оперном театре Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н.А.Римского-Корсакова исполнял партии Василия Собакина в «Царской невесте» Н.Римского-Корсакова, короля Рене в «Иоланте» и князя Гремина в «Евгении Онегине» П.Чайковского, Алеко и Старика в «Алеко» С.Рахманинова, а также басовую партию в Реквиеме В.А.Моцарта. В 2020 году совершенствовался в Международной музыкальной академии Зимнего международного фестиваля искусств Юрия Башмета в Сочи.
Является лауреатом I Международного конкурса оперных певцов им. Н.П.Охотникова (II премия; Санкт-Петербург, 2019); IV Международного музыкального фестиваля-конкурса им. Г.Отса (I премия; Санкт-Петербург, 2020); II Международного конкурса вокалистов “OPERA CROWN” (I премия; Тбилиси, 2021); XIII Международного конкурса молодых оперных певцов Елены Образцовой (II премия; Санкт-Петербург, 2021); II Международного вокального конкурса Фонда Елены Образцовой «Хосе Каррерас Гран-при» (I премия; Москва, 2021); VIII Международного конкурса оперных артистов Галины Вишневской (I премия; Москва, 2021); LIX Международного конкурса вокалистов им. Франсиско Виньяса (IV премия и специальный приз за лучшее исполнение русской музыки; Барселона, 2022); V Международного конкурса вокалистов Эвы Мартон (II премия и 6 специальных призов; Будапешт, 2022); I Международного конкурса вокалистов и концертмейстеров Хиблы Герзмава (Гран-при и семь специальных призов; Москва, 2023).
В 2018–2019 гг. был солистом Санкт-Петербургского государственного детского музыкального театра «Зазеркалье», где исполнял множество партий, включая Бертрана («Иоланта» П.Чайковского), Деда Мороза, Бермяту («Снегурочка» Н.Римского-Корсакова), Симоне («Джанни Скикки» Дж.Пуччини). Летом 2019 года в рамках тура по странам Балтии исполнял роль Короля Рене в «Иоланте» П.Чайковского под руководством Алексея Васильева и Гинтаутаса Жяльвиса. В 2019–2022 гг. – артист молодёжной оперной программы Большого театра России. На его сцене исполнял партии маркиза д’Обиньи («Травиата» Дж.Верди), Мазетто («Дон Жуан» В.А.Моцарта), Антонио («Путешествие в Реймс» Дж.Россини) и др.
Алексей Кулагин выступал в Московском концертном зале «Зарядье», где исполнил партию Чезаре Анджелотти в «Тоске» Дж.Пуччини под руководством дирижёра Михаила Татарникова, Концертном зале им. П.И.Чайковского, Санкт-Петербургской филармонии, Государственной академической капелле Санкт-Петербурга, барселонском театре Лисео, Венгерском государственном оперном театре в Будапеште и Тбилисском государственном театре оперы и балета им. З.Палиашвили.
В 2022 году вокалист участвовал в программе Young Singers Project Зальцбургского фестиваля, где дебютировал в постановке «Джанни Скикки» Дж.Пуччини (Кристоф Лой, Франц Вельцер-Мёст), а также дебютировал в Голландской Национальной опере, спев Тимура в «Турандот» Дж.Пуччини в постановке Барри Коски и Лоренцо Виотти.
С 2023 года является солистом Московского академического музыкального театра им. К.С.Станиславского и Вл.И.Немировича-Данченко, где дебютировал в партии Банко в «Макбете» Дж.Верди.
В Мариинском театре впервые выступил в феврале 2023 года – в концерте «Шаляпин-гала» (дирижёр – Валерий Гергиев). Позже состоялся дебют артиста на Исторической сцене Мариинского театра в партии Руслана в опере «Руслан и Людмила» М.Глинки.
В мае 2023 года впервые исполнил партию Лорда Тальбота в «Марии Стюарт» Г.Доницетти (постановка Энрике Маццола и Йетске Мейнсен, Голландская Национальная опера).
Лето 2023 года было ознаменовано участием в Зальцбургском фестивале в постановке Кшиштофа Варликовски и Филиппа Джордана «Макбета» Дж.Верди (партия Медика) и дебютом в фестивале «Хибла Герзмава приглашает…».
В сентябре 2023 года состоялся дебют Алексея Кулагина в Дрезденской Земперопер в партиях Тимура («Турандот» Дж.Пуччини) и Пустынника («Вольный стрелок» К.М.Вебера). В ноябре того же года в концертном зале Мюпа (Будапешт) исполнил Реквием В.А.Моцарта и Реквием венгерского современного композитора Д.Орбана.
